УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Решение поставленной задачи, удовлетворяющее ука­ занному требованию, будет иметь вид и ( t,x ) = —J F (-) d- — -чэ или (60) u( t ,x) = i(t —х). Таким образом, однозначность определения задачи о колебании полубесконечной струны х > 0 обеспечивается одним только начальным условием, например, и\х-о—f ( t ) и условием независимости решения уравнения в любой момент t от значений начальных функций в моменты, более поздние, чем t. Значение Идг|,_,= /=■(*) этими условиями определяется. Оказывается, что условие независимости равносильно определенному условию на бесконечности, наложенному на класс функций, в котором содержится решение задачи, именно условию: и равномерно стремится к нулю, когда x-s-co. Действительно, заменяя в формуле (3) t на tx — х, найдем « -О= + х СF (X) а . -2х Устремив, далее, х в бесконечность и предположив, что i(t) —*0 при £->со, получаем условие, обеспечивающее не­ зависимость значений и в момент t от значений начальных функций в более поздние моменты. В случае большего числа переменных задача Коши для волнового уравнения при начальных условиях, относящих­ ся к одной из пространственных координат, например, ,v=0— f, ux\x- 0- F в предположении, что остальные пространственные коорди­ наты и временная переменная t изменяются от — оо до оо 116