УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Дадим следующее определение асимптотическому раз­ ложению функции по положительным степеням одной пе­ ременной и отрицательным степеням другой переменной. Определение 2 Функция f(£ii) имеет двойное асимптотическое разложе­ ние по положительным степеням одной переменной и от­ рицательным степеням другой переменной в некоторой области плоскости t \т в смысле „треугольников", если для любого N> 0 выполняется соотношение (1'0) Пт J W - ^ I —о t-»<x> |Фл| т-0 при одновременном стремлении t к оо, а х к 0 вдоль асимп­ тотического пути функции Определение 3 Функция f(^,x) имеет двойное асимптотическое разложе­ ние по положительным степеням одной переменной и от­ рицательным степеням другой переменной в некоторой области плоскости tit в смысле „прямоугольников", если для любого N>0 выполняется соотношение: ( i io) ' i im l * w ;' r * g L - о t" 1ФЧ при одновременном стремлении /к оо, а тк 0 вдоль асимп­ тотического пути функции. Предположим теперь, что функция f (tit) имеет асимпто­ тическое разложение по t с коэффициентами, зависящими от х. 00 (I) f(/i X)~ 2 ап(х) • , справедливое при лю- п-0 бом Х< е0. Пусть далее а п(х) при п— О, 1, 2, ... , в окрестности начала координат представимы сходящимися рядами с ра­ диусами сходимости гп> е0. (И) a n(x) = S . ,т.+»п+1 . ш^О 108