УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

подстановка разложений (II) в разложение (I) приводит к двойному асимптотическому разложению функции f х), если выполнены те же самые условия (III). К тем же ре­ зультатам приводит и рассмотрение функции f(7,T), имею­ щей асимптотическое разложение по f с коэффициентами, зависящими от х, которые, в свою очередь, представимы асимптотическими разложениями, то есть условия, при ко­ торых подстановки разложений в разложение приводят к двойному асимптотическому разложению функции f(^x) в некоторой области плоскости г,х совпадают. Можно доказать, что подстановка сходящегося разложе­ ния функции в асимптотическое, асимптотического в сходя­ щееся и асимптотического в асимптотическое приводит к двойному асимптотическому разложению функции f^,x) в смысле „треугольников1*, если выполнены условия: 1) Не все (М‘~га1, т.— 0,1,. . N равны 0. В частном случае, когда ни одно из b М (ги= 0, 1,2, , . . , п— 0, 1, 2,...) не равно 0, условия (IV) перепишутся в виде 1) 6^1 ф 0 (т> 0, п > 0) 2) п 4-1 <0 В отличие от асимптотического разложения в смысле „прямоугольников" область двойного асимптотического разложения в смысле „треугольников" зависит только от самой функции Цг*, х). В случае же двойного асимптотического разложения в смысле „прямоугольников" область двойного асимптоти­ ческого разложения зависит еще от некоторой постоянной величины р., которую назовем коэффициентом „подобия" рассматриваемых „прямоугольников". Рассмотрим теперь двойное асимптотическое разложение функции f(ttx) по положительным степеням одной перемен­ ной и отрицательным степеням другой переменной. Асимп­ тотический путь этой функции представляет собой кривую плоскости tvx, уходящую в оо и имеющую ось х своей асимптотой. 2) Ti~Ы^ 0. 3) 0 < р< - < — < оо хг. а хгл 3) 0< — < оо. ХГ1 107