УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Таким образом, 1 + s для всех х, для которых х 0< х <^р. Но это, по определе­ нию левого предела, означает, что Пт (р — х )Кх ) = 1. х —*• р — О Отсюда, в силу нечетности функции t(x), вытекает, что lim (р -f х ) t(x) = — 1 х—д + 0 и, вообще, в силу периодичности функции /(х) с периодом ‘2р, что для k = 0, + 1, + 2 ,... lim [{2k -(- \ )р— х\ t( х ) = 1, х —(2£+ 1) р —О lim [2k -\-\)р + 1] I ( х)—— 1• x —*— (2k + 1 ) р + О Покажем теперь, что теорема сложения (7) остается в силе для всех значений х г Ф ( 2 & , 4 1 ) р, х, ф (2k2 - f - 1 ) р, кх =0 , + 1, ± 2,..., k2 = 0, + 1, + 2,..., для которых и Х ,4 4- х 2Ф (2/г 4- 1) Р, к = 0, + 1, + 2,.... Пусть х —2к2р-\-и, где —p < 5 t< р, x 2= 2k2p + ^, где —p< k 2<p, х 1 4- х 2 — 2kp 4- S, где —р<.Ч<р. Тогда ^(хх4- х,) = *[2(^-1-*,)/> + ?, + У = 2 ?(^ + У. Возможны три случая: либо — р 4* ^2 <С.Р> либо < ^ + ^ < 2Ллибо — 2 p < t l + Z2 < — Р- Если — р < 4 1 4 + ?2<!/>, то применима формула (7), и мы получим, что и требовалось доказать, а именно равенство: (х\) 4 - 1(х 2 ) f ( Хх4- X , ) - * (S, + 62 ) = * (S|) t * >v - = — v 1 2' 1-НФ)Н-г) 1 (^i) t (x2) так как t( l l) = t [ x 1 — 2к,р\ — t{x ,) и t (?,)= t [x2 — 2ktp] = = t(x2). Если /?<&!-]-$,, <2/?, то по крайней мере одно из чисел ^ и должно быть положительно; пусть ^ > 0 ; по­ лагая тогда ?!' = lL—p, будем иметь неравенства 0 < ^ ф + -ф;2< р, в силу которых t Oi + У = t (Si' 4 - а. - р ) = - г [/7 - (V 4- У] = - , 98