УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Функция t(x ) была определена нами только на интерва­ ле (—р,р). Продолжим теперь ее определение на всю ось х за исключением точек (2к + \)'р, к— 0, + 1,+ 2,..., соот­ ношением t(x + 2р) = t (х). Тогда мы получим нечетную функцию, периодическую с периодом 2р, непрерывную и возрастающую на каждом интервале ((2k—l)p, (2k+ l) р), &=0, + 1,+ 2,..., равную нулю во всех точках 2 kp, выпуклую в интервалах (2кр,(2к-\-\)р), вогнутую на интервалах ((2k— \)p,2kp) и имеющую в точ­ ках (2&+ 1 )р бесконечные разрывы: lim £(л:)= + оо, lim 1{х)= — оо. (12) х —- (2к -(- 1)р— 0 х — (2£-+1)р + О Представляет интерес выяснить еще порядок возраста­ ния |£(х)| при х — (2к + 1)/?+ 0. Для этого достаточно рас­ смотреть поведение t(x) при х — р — 0. Так как оо t(X) оо оо — г У 1 + и2 \ 1+н* J 1н- a2 J к3 t(x) о 0 t(x) t(x) ТО (P — x ) t ( x )< 1. С другой стороны, для любого заданного числа г > 0 существует такое х0< р (зависящее, конечно, от е), что для хс < х < р t(x)> — и для таких значений х р — X s ОО 00 da t(x) t(x ) егг? и2 (так как под знаком последнего интеграла га2> 4~{х ) > 1); следовательно, для всех х<Ср, но достаточно близких к р, Р - х > - 00 du 1 1 и2 1 + г t(x) t(x) т. е. ( р - 7 Ученые записки, V 97 1 Н- е