УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

V Нетрудно видеть, что функция t (х) — нечетная. Действи­ тельно, полагая t(-*-x)=yu будем иметь: v> , ■*= ' f— ; J m «-’ О делая в этом интеграле подстановку и— — v, получим, что —У\ -У1 dv Г dv + xfl ' J 1+ »*" О О т. е. что —- у ^ ^ х ) , У\~ — t{x). Таким образом, у := t (— х) = — t(x), что и требовалось доказать. Из свойства нечетности функции t (x ) заключаем, что lim Г— —— р. (3) у со J 1+ О Соотношения (2) и (3) в сочетании с монотонностью х как функции у, показывают, что функция у = t(x) опреде­ лена нами лишь для всех значений * из интервала —р < О </?, причем lim t (х) — со, lim t (х) = —оо . jc— р — 0 х— — Р -фО Покажем сразу, что р = ~-- С этой целью рассмот­ рим вспомогательную плоскость (X, Y), и на ней кривую Y ____ \ ______ y ^ У \ + Р{х) V 1 + Щх) заданную в параметрической форме с переменной л; как параметром. Пусть х изменяется в интервале 0 <^х<^р. Тогда эта кривая представляет собой четверть окружности Х2-\- Y 2= 1, ^>>0, Т > 0 (так как при х = 0 X = \, Y—О, 88