УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

(напомним, что п —данное фиксированное число), то и по* давно (13) lim е---=се>. .* -> 0 0 хп Предельное соотношение (13) показывает, что при воз­ растании л: функция е(х) растет быстрее всякой целой степени х. Из теоремы сложения и равенства е (0)=1 вытекает, что е (х) = —-— V ' е ( - х ) (так как е (х)е(—х) —е (0)— 1). Переписывая соотношение (13) в виде lim х'‘ = О, х— со е ( х ) мы теперь убеждаемся в том, что lim хпе (— х) — lim е = О, X 00 J_\n X т. е. в том, что при возрастании х функция е(—х) убывает к нулю быстрее любой целой степени—. Мы вывели из определения (1) ряд важных свойств функции е(х). Покажем, в заключение, что эта функция действительно совпадает с известной показательной функ­ цией ех= lim П~^ GO 1 + (14) С этой целью разобьем интервал интегрирования (1, у), где у предположим большим единицы, на п интервалов к - 1 k "