УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Из формулы (9) и неравенства (11) теперь действительно вытекает, что при х хФ х г + j- т. е. что функция е(х) выпукла. Формула сложения (8) позволяет также сделать важное заключение о росте функции е(х) при х —*+ сю. С этой целью рассмотрим отношение - , где п — любое целое хп положительное число. По теореме сложения e(x) = e { x l) e ( x s) . . . е{хт), (12) если x, - f -x2+ . . • - |- х т~ х . Действительно, <?(#!) е ( х 2)—<?(*!+ *,), e ( x l) e ( x t) e ( x 3) = e ( x , + x 2) e ( xa) = e( x1+ х2+ х г), e (x , )e (x t). . . e ( x j = е (х1+ х 2+ . . . -f-х т^ ) е ( х 'т)= = е (х х 24~ . . . + х ,п) = е (х ). Положим теперь т= 2п и x t— х 2~ . . . = X зп= --- 2п Тогда формула (12) примет вид: е(х)= je i Но по неравенству (5) е ( й ) > ' + Г п ( ^ ° ) и, следовательно, + £ j 2"(x ^ 0)- Таким образом,