УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Перейдем теперь к доказательству выпуклости функции е(х). По соотношению (8), примененному к аргументам ^ и - вместо х j и х 2, найдем, что Далее, по неравенству между средне-геометрическим и средне-арифметическим, V е(!)*(?) <т{*(?)4?)}« знак равенства здесь исключается, так как он имеет место только в том случае, когда = что невозможно (в силу возрастания функции е (х)), если х хф х г. Итак, / » ( ? ) • ( ! ) откуда следует, что ИЛИ, что Но e ( f ) e ( ? ) < j { e' ( f ) + ef ) l по теореме сложения. Следовательно, неравенство (10) при­ нимает вид: e ( f j e (^ ) < i { e (*0+в(ж.)}. (И) 82