УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Перейдем теперь к выводу главного свойства функции е(х), именно так называемой теоремы сложения. Пусть _}>!>•О и_у2> 0 —два произвольных значения функ­ ции е(х), и пусть Ух=е(х1), у 2=е {х г). (б> Тогда V| Vo I Cdt I Cdt *+^JT+jV i l Во втором из этих интегралов сделаем замену переменно­ го, положив t = " : У1 Уг У 1 У 2 Cdt _ fdu J ' J “ 1 У I Учитывая это равенство, найдем, что УУ У\У а у lVj rdt , rdu rdt j 7 + j T , =j «• (7) 1 У! 1 так как У 1 У 2 У 1 У 2 J?-J? 1 1 (значение определенного интеграла не зависит от перемен­ ной интегрирования, и поэтому ее обозначение роли не играет). Равенство (7) означает, что Viy%=e(xl +xt), а это равенство (в силу равенств (6)) может быть перепи­ сано в виде: e(xt)e(xt) = e(xl+ xt). Поскольку ^ i> 0 и у 2> 0 были в наших рассуждениях произвольные числа, то х j и х ,—произвольные числа, и мы доказали следующий результат: 80