УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

•ничем не отличается от подлежащего доказательству соот­ ношения (3). Итак, соотношение (1) устанавливает взаимно-однознач­ ное соответствие между точками полуоси у > 0 и точками всей оси х. Другими словами, функция у — е(х ) оказы­ вается определенной, положительной, непрерывной и воз­ растающей на всей оси х, причем lim е(х) = 0, Пт е(х) = + оо. (4) X —*—00 Х—-\- 00 Кроме того, очевидно, что е(0 ) = 1. Далее по теореме о среднем интегрального исчисления, V Cdt , i х 1 Х= - = ( ^ - 1 ) • J * 14 1 где -г] — число, расположенное между 1 и у. Таким обра­ зом, если _у> 1, то 1< 4 <С.У и х = (у — 1) • - 0 —1, ч т. е. у > 1+ х, или е (х )>1 - | -х ; если же 0 < v < l , то _У<4< 1> и так как у — 1 < 0 1 ^ 1 —> 1, в этом случае также находим, что ■*= (у— 1) • - < V— 1, 4 т. е. у > 1+ х, или е(х) > 1 + х. Итак, для всех значений х¥=0 у = е (х) > 1+ х. (5) Заметим, что неравенство (5) дает нам новую информа цию относительно исследуемой функции е{х) только для значений х > — 1, так как для х < — 1 1+ х ч<О, тогда как нам из определения (1) известно, что у = ф с )>0 . где у i— —. Но полученное соотношение (За), очевидно, 79