УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Приведем пример. Пусть х произвольно и ач = (х + v)rt, v= 0, 1, 2,...; п> 1. Покажем, что ач образуют арифметическую прогрессию порядка п и что 4 "ач= п\ Положим т —1 Vm = | l ( v - f p ) , т — 1, 2,... . Тогда, очевидно, возможно представление (X -}' v)" = V„-f OCjVn-1-J- ••• 4* an-ivl + *n. где ccj, a2,..., a„— коэффициенты, зависящие от x (полагая в этом тождестве v=0, найдем, что a ,= х"; полагая v= — 1, найдем, что «„_!== х"— (х— I)" и т .д .) Таким образом,. Д " ( х + v ) 4 = 4 « v „ + a 1 4 " v „ _ i ф - . . . ф - x„^1Anv1. Но ДЧ : = Vn— (V~ l )a = v (v - f l ) . . . (v + r t— 1) — (V— l)v...(v + ft—2) = = V (v -1-1)... (v + л —2) {V+ n - 1 — (v -1 )} = rtvn_1, и, следовательно, Д^п= 4 1у„ - Д1 (V— 1;„ = п { V„_J— (v - 1 )„_ j. = n (n - 1 ) vn_ 2, и т. д. После n— 1шага мы будем иметь A4-1vn= /i!v, = nit и, стало быть, Д% = я! Эти же рассмотрения показывают, что A«vm= 0 для /я< л . Следовательно, действительно J n(x + v)" = «! Таким образом, при любом х хп (хф-1 у (x + iy... (х + п)п ! ( х + I ) 4 ( х ф - 2 ) » ( х + 3 ) " . . . ( х ф - п 4 - 1 ) " (х 4 - 2)" ( х 4 - 3 ) " ( х + 4 ) " . . . ( х 4 - п - f - 2)п пы л) := ( - ! ) 2 («1)л+1- (хф п)п (х4 п 4-1)" (х4-я4-2)я...(х4-2л)л