УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Подвергнем D,t некоторым тождественным преобразованиям. Заменяя элементы каждого столбца a, +j при фиксирован­ ном /соответствующими линейными комбинациями элементов «о +/, & 1 \ 1 i -м Л/+У той же строки, мы найдем, что Dn — \b{j bjj — i j —0, Заменяя теперь элементы каждой строки при фикси­ рованном i соответствующими линейными комбинациями элементов Д ‘at, л1а1+ 1 , . . . , Д ' а / + , того же столбца, мы найдем, что Dn = ! си I, ciS- ^ '+'а /+/, i j = 0, 1 Этот определитель содержит элементы Сц=0 при i-\-jj>Kr Если /£<.«, то нули расположены в нем всюду под линией, параллельной побочной диагонали и идущей над ней на расстоянии п — к элементов. В частности, п — к последних столбцов в таком определителе состоят из нулей. Таким образом, в случае к<^п определитель Dn имеет ранг к + 1. Если к —п, то в определителе | ct j\ все элементы, сто­ ящие под побочной диагональю, равны нулю, а в самой побочной диагонали элемент сц —h (при i-\-j — n). Сле­ довательно, в этом случае п(п+ 1) Dn - (— 1)” 2 ЛЛ,+1. Итак, если ач, v= 0, 1, 2,... — члени арифметической, прогрессии порядка к, причем лкач = h., то определитель D„= а0 а1 at . . . ап (ll (1%(1% • • •^Л-f-l а2 а4 . . . аЛ+2 О, если к<п , л(л41) (— 1) 2 An f l , если к — п> @пйп+1 Ял4-а... #24 причем в первом случае ринг Dn равен к + 1. 74