УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Соединим точку В с точкой Упрямой линией JB. Тогда эта прямая будет пересекать поверхность цилиндра в точ­ ке А (АеС ) (рис. 3). 2 Обозначим УЛ = /о и АВ = R0. Для произвольной переменной точки М на поверхно­ сти 2 всегда можем определить экстремумы функции /?-}- г. Ясно, что минимум функции R + г будет тогда, когда точ­ ка М совпадает с точкой А, т. е. R + г—Ro -f r0 = JB. Максимум функции R-\-r будет лежать по геометрическим соображениям на части поверхности (2 —С), где р= 0. Действительно, если мы построим софокусные эллип­ соиды вращения с фокусами в точках У и В, то один из них обязательно будет касаться поверхности цилиндра. Эта точка лежит на части поверхности (2— С), где р = о . Уравнение поверхности цилиндра в координатной систе­ ме Ах, y,z (ось Ау, || оУ и лежит на 2, а ось Ах, J_ пл. y,Az) имеет вид: x l, + z*+2az = 0. (25) Возьмем другую координатную систему, связанную с точкой А (вернее с прямой JB). Проведем через точку А касательную плоскость к поверхности цилиндра. Тогда угол, образованный прямой JB и ее проекцией ДА на ка­ сательной плоскости, обозначим через а, а угол, образо­ ванный прямой ДА и осью Ау,, обозначим через р. Возь­ мем координатную систему такую, что ось Az совпадает с прежней осью Az, ось Ау совпадает с прямой ДА, а третья ось Ах перпендикулярна к плоскости координат zAy. 64