УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

где г—расстояние от источника J до фиксированной точк» поверхности R —расстояние между фиксированной точ- дг кой и переменной точкой поверхности а соэф = — ()п< т. е. угол ф—угол, образованный радиусом-вектором г и нормалью поверхности в той точке, где определяется ра­ диус-вектор г. Таким образом мы должны решить интегральное урав­ нение (6) относительно р, а затем определить функцию f(x,y,z) по формуле (4). Тогда общее решение уравнения (1) находится по формуле (3). § 2. О методе Пуанкаре для двойного интеграла А. Пуанкаре рассмотрел метод установившихся фаз с точки зрения теории функции комплексного переменного и дал его математическое обоснование, показав, что он является методом получения асимптотических разложений. Возьмем интеграл: 5 = ]Л{х)е1*Чх) dx, (7) а где функции т)(х) и 0(х) суть аналитические функции комп­ лексного переменного х, принимающие при л: действитель­ ном действительные значения, постоянное <о— очень боль­ шое положительное число. Тогда А. Пуанкаре нашел приближенное выражение интеграла (7) в виде: __________ щ —— е1^ а) т)(а)е± 4 ’ ^ • 10" (а) | К ’ где а есть координата экстремума функции 0(х), знак (+ ) берется при минимуме функции 0(х) в точке х — а, а знак (—)— при максимуме 0(х) в точке х = л. Приближенная формула (8) не учитывает тех членов интеграла (7), порядок малости которых больше, чем о> 2. Рассмотрим теперь двойной интеграл следующего вида: S = Я em4x'y)dv. (9). (S) Пусть 0(-х,.у) имеет экстремум в начале координат, т. е.. в точке х = 0 и v = 0. £9