УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Если К ' к 0, то разделим это уравнение на к ' . Получим - ^ - - + - ^ - = 1 . (8) К ’/А ’ К '1C v ’ К.' К ' а) Если обе величины — , положительны, то (8)„ > А’ С а значит и (1), представляет эллипс. К ' К ' б) Если обе величины t , — отрицательны, — имеем Л' с мнимый эллипс, т. е. уравнение (1) не представляет ника­ кого геометрического места (ср. пример 5 § 1). в) Если одна из этих величин (все равно какая) положи­ тельна, а другая отрицательна, то имеем гиперболу. Если же К '= 0, то уравнение (7) имеет вид А 'х2 -J- С' у2 = 0. (7'> При этом возможны два случая: г) Если А' и С имеют различные знаки, то А'х2 4- C'y 2 разлагается на множители первой степени, как разность квадратов. В обоих множителях коэффициенты действи­ тельны, и мы имеем пару пересекающихся прямых (ср. § 1, пример 1). д) Если А' и С имеют одинаковые знаки, то А'х2 + С'у" тоже разлагается на множители первой степени, но оба множителя содержат члены с мнимыми коэффициентами, и мы имеем пару мнимых пересекающихся прямых, т. е. (1) представляет одну действительную точку (ср. § 1,. пример 4). Пример 1. Уравнение (1а) примера 1 § 4 после пово­ рота осей преобразовалось к виду x '2+ 6y,J- f - ^ r - * ' + - Ц ^ у ' - 4 = 0. (4а). Yb Vb Последнее уравнение можно записать в виде ( ^ + - ^ ) 2+б(у-|--1Ь)а=(-^=)Ч 2]/5 12ф^5 ' 2]^5 + б ( - ^ ) 2+4 , (5а) 208