УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

а) Предварительное преобразование. С его помощью мы освободимся от члена, содержащего произведение коорди­ нат (это достигается поворотом осей). б) Завершающее преобразование. С его помощью мы затем освободимся от членов, содержащих первые степени координат (это достигается переносом начала). § 4. Предварительное преобразование уравнения 2-й степени Если 5—0, то эго преобразование становится не нуж­ ным. Поворачиваем оси координат на угол а, удовлетворяю­ щий условию 1 Формулы преобразования будут Членысх 'У взаимно уничтожатся2, и новое уравнение бу­ дет иметь вид Для подсчета значений новых коэффициентов можно дать общие формулы, выражающие А', В', С', D', Е ' , F через А, В, С, D, Е, F и тригонометрические функции угла а, но когда значения А, В, С, D, Е, F известны, проще не­ посредственно выполнять числовые выкладки. 1 Условие (2) дает бесчисленное множество значений угла а, но существенно различных поворотов— четыре. Именно, если а„ есть угол одного из поворотов, то из (2) следует, что 2а = 2ай+ 180V (к—целое число). Значит, а = я0 90°к, т. е. или я=я0, или я=а9-4-90о, или а=а-)-180о, или я=ао+270°; остальные значения я дают те же по­ ложения новой системы координат. 2 В Если А г= С (величина --------- .обращается в бесконечность*), то А — С 2яг=±90°, т. е. я=±45°. 2 Коэффициент при х 'у ' имеет вид 2В‘= (С —А) • 2 sin я cos я -f 2 В (cos2a— sin2a)= = (С— A) sin 2a + 2 В cos 2a. В силу (2) этот коэффициент равен нулю. X = x r COSa — у 1sin a у = х ' sin a - f у I cos a. (3) A'x'2 -f C y 1+ 2 D'x'+ 2 E'y' + F' = 0. (4) 204