УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

либо обнаруживаем, что уравнение второй степени разла­ гается на два уравнения первой степени. Вместе с тем мы находим размеры линии второго порядка и расположение ее относительно первоначальной системы координат (на­ пример, для эллипса—длины осей, их уравнения, положение центра и т. п.). В §§ 4—6 упомянутые преобразования проведены пол­ ностью. § 2. Запись общего уравнения второй степени Общее уравнение второй степени обычно пишут в виде Ах"~+ 2Вху+ Cy--\-2Dx + ‘2Ey-{-F = 0. (А) Обозначения 2 В, 2D, 2 Е (а не В, D, Е) введены потому, «то во многие формулы входят половины коэффициентов при ху, при х и при .у. Пользуясь обозначениями 25, 2D, 2ЕУ мы устраняем дробные выражения. Приме р 1. Для уравнения х2 -ф ху — 2у2 + 2х + Ау + 4 = 0 имеем А — \, В = -~ , С = —2, D = 1, 5 = 2, F— 4. Пример 2. Для уравнения 2ху + л: 4- 5 = 0 имеем А = 0, 5 = 1, С = 0, D= \ , Е = 0, 5 = 5. З аме ч а ни е . Величины Д 5, С, Z), Е, F могут иметь любые значения, лишь бы величины А, В, С не были рав­ ны нулю все вместе, ибо в этом случае ( А ) есть уравне­ ние первой степени. § 3. Упрощение уравнения второй степени Преобразование уравнения второй степени Ax2+ 2Bxy + Cyl + 2Dx-F2Ey + F=^0 (1) к одному из простейших видов (см. § 1) мы выполним по следующему плану1. 1 Излагаемый здесь способ —не самый быстрый, но он не требует никаких вспомогательных теорем. Есть другие способы, ведущие к цели быстрее. Но их обоснование значительно сложнее. 203