УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

лается на два уравнения х -(- iy — 0; х — iy — 0 с мнимым» коэффициентами. Поэтому говорят, что (4) представляет «пару мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке". Наконец, может оказаться, что уравнение второй сте­ пени не представляет никакого геометрического места. Приме р 5. Уравнение " . • ; : <5> не представляет никакой линии и даже ни одной точки, V2 V* так как величина Ь~ не может иметь положительного —9 —1Ь значения. Однако ввиду сходства уравнения (5) с уравне­ нием эллипса, говорят, что уравнение (5) представляет „мнимый эллипс". Приме р 6. Уравнение x2- 2 x v +>'* + 9 = 0 (6) также не представляет ни линии, ни даже одной точки. Но так как оно распадается на уравнения х — y-j-3i = 0 и х—у — 3г' = 0, то говорят (ср. пример 2), что (6) пред­ ставляет „пару мнимых параллельных прямых". Коническими сечениями и парами прямых исчерпыва­ ются все линии, которые могут представляться уравнением второй степени в декартовой системе координат. Иными словами, имеет место следующая теорема. Теорема . Всякая линия второго порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо пара пря­ мых (пересекающихся, параллельных или совпавших ). План д о к а з а т е л ь с т в а . С помощью преобразования координат данное уравнение второй степени приводится к более простому виду, и тогда мы либо получаем одно из канонических уравнений •АТ2 У2 -f-— = + 1 (эллипс, действительный или мнимый), а* Ь- х у - ~а* ~W (гипербола), у 2 —2 рх (парабола), 202