УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Так как существуют две перестановки (1,1), то /(«,«) ~ 2 п -га! (5) 11. Подсчитаем /(га, 7) вторым способом, для этого заме­ тим, что любая перестановка (га, /) может быть получена одним из четырех способов: а) добавлением в перестановку (га—l , /-j-2) элементов кик2 в различные промежутки между парными элементами; б) добавлением в перестановку (га— 1, 7+1) элементов ки к2 одного—в промежуток между парными элементами, другого—в промежуток между непарными элементами или в начало, или в конец перестановки; в) добавлением в перестановку ( «1 , 7 ) элементов ки к> в промежуток между непарными элементами или в начало, или в конец перестановки, или парой в промежуток между парными элементами; г) добавлением в перестановку (га—1,7—1) элементов ки к2 парой в промежуток между непарными элементами или в начало, или в конец перестановки. При этом построении ни одна перестановка (га, I) не будет пропущена, так как при исключении из перестано­ вок (л, 7) элементов пары ки к2 получаются или перестанов­ ки (га—1, 7+2), или перестановки (га—1,7+1), или переста­ новки (га—1, 7), или перестановки (га—1,7—1) и, следователь­ но, в процессе добавления все перестановки (га, 7) будуг получены. С другой стороны в процессе добавления элементов пары к,, кг ни одна перестановка (га, 7) не будет получена дважды, так как построение, очевидно, сохраняет различие исходных перестановок (га— 1,7+ i) i— — 1,0, 1,2. На ос­ новании проведенного построения подсчитаем число пере­ становок (га, 7). Для добавления элементов ки к2 по типу а имеется /(га— 1, /—J-2) перестановок (га— 1,7Д— 2). В каждой из них добавление можно произвести (7+ 2) (7+1) способами. Следовательно, это добавление дает (7 + 2)(7+ 1)/(га— 1, 7+ 2) перестановок (га, 7). Случаем, когда образование перестановок по этому типу исключается, является 7> к — 2. Но в этом случае / (га— 1,7—(— 2) = 0 и потому найденное выражение имеет место и для него. Для добавления элементов кг, к2 по типу б имеется у(га— 1, 7+1) перестановок (га— 1,7+1) . В каждой из них 192