УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Если и — v — ЗЦ>, то и*—2му + 'У3—9ф! и к*-f -uv + v2 =■ — 9ф2-f- 3 uv. Откуда м8— v 3 делится на 9 и не может рав­ няться 12. Если же к2 -+- uv + v2 —Зф, то (и — v)2= Ы — 3 uv и зна­ чит и — v делится на 3, a u3— v3 делится на 9. Рассмот­ ренный случай невозможен. 2) d —2 или 4, тогда У = 2у\ и мы получим (Ух + 3) {у, - 3) = 2Xj3, где X i = y x - Отнуда видно, что у х + 3 и Ух — 3 числа четные и </=4. Полагая у г -}- 3 = 2 и3 и Ух —3 = v3, получим 2 и3 — v 8= 6. (Если наше предположение не соответствует действитель­ ности, то меняем знак у г и истина восстанавливается). Полученное уравнение показывает, что v —четное, т. е. v = 2vt и мы получаем: к3— 4г»!3= 3. Это уравнение относится к типу уравнений, рассмотрен­ ных Фаддеевым и Нагелем, и имеет одно решение: и = — 1 = — 1 (см. указанную монографию)^ Следовательно, у1! + 3 = —2 у, = — 5 У= + 10; X — 4 3) d—Ъ, тогда У= 3у, X —Зх, и мы имеем (Ух + 2) {ух —2) = Зл3. Аналогично полагая Ух + 2 = 3 и3; У х - 2= Vs, получим (6) 3 и3— V s — 4. Последнее же уравнение эквивалентно такому (7) я* + 9 х у г+ 6уа= 1. Это уравнение может быть решено методом Б. Н. Делоне. Полагая р3= — 9р— б, найдем прямую основную еди­ ницу поля R (р) _ з р". + 27 р + 1 6 е _ 2 ' 187 '