УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Если при этом <?(х, у) = 1, то уравнение (2) принимает вид: (3) ^ 3— 27У2= — 64 У где X = Н(х, у), У= Q(x, у), и мы можем сказать, что каждому решению неопределен­ ного уравнения <p(x, _у)= 1 (можно было бы взять в пра­ вой части и любое другое число л:) соответствует реше­ ние уравнения (3). Обратное, правда, не имеет места, но так как уравне­ ние (3) имеет конечное число решений, то в тех случаях, когда оно может быть решено до конца, мы можем пере­ брать все его решения и таким образом решить уравне­ ние <?(х, у) — 1. Приведу один пример. При решении этого примера буду пользоваться терми­ нологией Б. Н. Делоне (см. Делоне и Фаддеев .Теория иррациональностей 3-й степени", Труды математического института им. Стеклова, т. XI, 1940 г., гл. VI). Рассмотрим уравнение с симметрической группой (4) ?(х, у) — х4— 6х гу 2 -{- 10 ху3 — 3 у* — 1. Для него 1= 0, J = 27 -36 Н (х,у) = 12 (4*4— 20 х3у + 24х У —20ху3+ 13у 4) Q(x, у) = 8(10x6— 48 xr,y -f- 150х(у2—250 х3у3+ 150х2_у* - f бху5- 35_уй). И полагая X — ^—Н(х,у) и У= — Q(x,y), получим урав- 12 8 нение (5) ^ ’ - У 2= - 3 6 . Займемся решением этого уравнения, для чего представим его в виде: (У+ 6 ) (У - 6 )=Х 3. Общий наибольший делитель чисел У-f-6 и У—6 d — 1, 2, 3, 4, 6 или 12. Рассмотрим эти случаи отдельно: 1) d— 1, тогда У + 6 = ы3; У— 6 = гР; «3-г>3= 12 или (и — v ) {и2 + uv + v1)= 12. Следовательно, или u— v, или «2+ uv + v2 делится на 3. 186