УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Доцент В. Д. ПОДСЫПАНИИ О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 4-й СТЕПЕНИ С РАВНЫМ НУЛЮ КВАДРАТИЧНЫМ ИНВАРИАНТОМ Решение в целых числах неопределенного уравнения f ix , у) = 1, где f(x, у) однородный многочлен степени п, является одной из важнейших задач теории чисел. Для п = 1 или 2 эта задача решена полностью уже дав но. Для п — 3 или 4 она решена лишь для отдельных част­ ных типов уже в наши дни. Причем естественно, что для п = 3 эти типы более широки, чем для п = 4. Так для более простого случая отрицательного дискри­ минанта кубическое неопределенное уравнение практически уже решено, в то время как неопределенное уравнение 4-й степени в случае отрицательного дискриминанта реше­ но лишь в отдельных случаях, когда группа уравнения f(x, 1)—0 не симметрическая. В настоящей заметке я обращаю внимание на одно весь­ ма простое обстоятельство, позволяющее свести неопре­ деленное уравнение 4-й степени с равным нулю квадра­ тичным инвариантом к неопределенному уравнению третьей степени. Последнее же часто можно решить до конца. Перехожу к изложению. Пусть <?(х, у) — бинарная форма 4-й степени. Пусть У— ее квадратичный инвариант, У— кубический инвариант и пусть Н(х, у ) — гессиан формы <р (х, у), a Q(x, у) —ее якобиан. Тогда, как известно, имеет место тождество Кэли: (1) И3(X,y)-27Q* (х,у)= 16 [3 1Н(х, у)—4У? (х, у)} Г- (х,у). Если 1= 0, то тождество Кэли принимает вид: (2) И3(х, у) - 27Q2 (х, у) = — 647<f3 (х, у). При целых х и у и целочисленных коэффициентах У ? (х>У)у Н(х>У) и Q(,х>У) будут тоже числами целыми. 185