УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

определен во всем пространстве //, то D(CA) = D{A) и D (СА * )=£ ) (А*) и, следовательно, D ( A ) = D ( A * ) . (5) Кроме того, оператор А является симметрическим в про­ странстве Нс, поэтому, как известно, оператор А* являет­ ся расширением оператора А, т. е. А* 9А. (6) Соотношения (5) и (6) означают, что А = А * в простран­ стве Нс, т. е. оператор А является самосопряженным в про странстве Нс. Из того, что оператор А является самосо­ пряженным в пространстве Нс, заключаем, что спектр аг оператора А в пространстве Нс является вещественным. Отсюда следует, что если \ = а $i (р Ф 0), то оператор R-Kz=(A — существует и ограничен в пространстве Нс. Так как оператор R\ ограничен в пространстве Нс, то он является непрерывным в пространстве Нс. Отсюда легко видеть, что оператор !<\ является также непрерывным в пространстве Н. Это следует из того, что С—норма топологически эквивалентна норме Банаха. Действительно, пусть / ~ / и f n~T R\f, тогда в силу топологической эквивалентности норм получаем, что f n—*t и что означает непрерывность оператора RK в пространстве Н. Из непрерывности R\ следует, что он ограничен в пространстве Н и значит число Х= а-{-рг (j3=£0) не может принадлежать спектру оператора А. Итак, спектр оператора А в пространстве Н является вещественным. Цитированная литература 1 M a r t y I. Valeurs singu)i£res d’une 6q jation de Fredholm, C. R. Acad. SC, Paris, т. 150, crp. 1499-1502, 1910. 2 К о л м о г о р о в A. H. Zur Theorie der Markoffschen Ketten, Mat!). Annalen, т. 112, стр. 155—160, 1936. 3 Фа r e М. К.Осимматризугмых матрицах, .Успехи математиче­ ских наук", т. VI, вып. 3(43), стр. 153—156, 1951. 4 К р е й н М. Г. Про лшй Hi щлком неперервш оператори в функ- ц'юнальних просторах з дпома нормами, Зб1рннк праць шетитуту мате­ матики Академ!'/ наук УРСР, № 9, стр. 104—128, 1947. ! Z a a n e n А. С. Uebei vollstetige symmetrische und symmetrisierbare Operatoren, Nieuv Archief voor Wiskunde, Groningen, стр. 57—80, 1913. s П л е с а е р А. И. Спектральная теория линейных операторов. „Успехи математических наук“, т. IX, 1941. 7 А х и е з е р Н. И. и Г л а з м а н И. М. Теория линейных операто­ ров. 1950. 184