УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Наоборот, если хатх , то > (4) Из соотношении (3) и (4) следует, что Отсюда получаем, что ||л-л х ^ с~^ а ||л„ х|| , т. е. V a и значит хп—>х при хп~рх. Рассмотрим пространство Нс, т. е. прежнее простран­ ство Гильберта, в котором введена новая С —норма. Про­ странство Нс также является пространством Гильберта. Для доказательства этого утверждения достаточно прове­ рить полноту пространства Нс. Пусть \\ха- — л: j|c-—*0 при я, от—о°, тогда в силу тополо­ гической эквивалентности норм получаем, что ||jc„—л'шЦ-—О при я, т .—> оо Отсюда же, в силу полноты пространства Я, следует что существует элемент х еН так что \\х„ —jc||-> О при я — > о о . На основании топологической эквивалентности норм снова получаем, что \\х п—х |с—*0 при я-*оо. Это же последнее означает, что пространство Нс является полным. Оператор А является сопряженным в пространстве Нс. Действительно, в силу топологической эквивалентности норм область определения D (А) оператора А является всюду плотной в пространстве Нс. Оператор А является также симметрическим в пространстве Нс, ибо Наконец, оператор А совпадает с сопряженным А* в про­ странстве Нс. Действительно, из того, что оператор С А —АС являет­ ся самосопряженным следует, что СА — (АС)* — С* А* — —СА * и значит D{CA) = (С4*). Но так как оператор С {At, g)c— ( CAf , g) = {f, CAg) - ( C/,Ag ) = (f,Ag V 183