УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Так как оператор С положительный и точка А= 0 не принадлежит спектру, то (С / , /)> 0 при /ф 0. Для положительного оператора С существует, как из- вестно, единственный положительный оператор С2, удов- летворяющий условию: С2 • С2= С. Введем новую норму: (С—норму), согласно формулы || /][с==]/Г(Cf,f). Нетрудно видеть, что имеет место формула m v Y ' i . c d j ) = у ( с 2/ , с * / ) = У || с 2f } =z |i c 2f \ Все свойства обычной нормы сохраняются для С —нормы. Проверим, что выполняется неравенство Коши-Буняков- ского и правило треугольника JL ±_ г_ i_ К/,^1 = 1(С/,£)Ы(С2/, С2/)|<||С2/||. ||С8/11= = 11/11,' Ы\с. Итак, (/. g)< , | l / l | , ' II&IU—неравенство Коши-Буняковского. II/+ £||%= (С ( / + g), / + g) = (С / + Cg, f + g) = = (Cf , f) + (Cg,g) + ( Cf, g) + (Cg, f ) = = II/ II2,+ kll2r + 2 я* (С/, g) < 11/iiVb lk!l2,+ 2 1 (Cf, g',\. На основании неравенства Коши-Буняковского заклю­ чаем, что I/ + я112,<и/1,‘,+ in*, f 2 1 ( ш т + |н р ,+ 2 n/ц, • \\g \е = = (ll/i|,+ № 2> т. е. II/+ g1|c< | | / | | ,4- Hsll,—правило треугольника. Введенная новая С—норма топологически эквивалентна норме Банаха (обычной). Действительно, \\хп — х\\гс= (С(хп — х), Хп—х) < ||С|| • ||хя— л||2,, т. е. хп-фх при хп~~х. 182