УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

1. Спектр лежит на вещественной оси. 2. Спектр образует замкнутое множество. 3. Верхняя и нижняя грани спектра совпадают в точно­ сти с sup (А , / ) и пf (A f , f ) при Ц/U = 1. 4. Оператор ограничен тогда и только тогда, когда ■его спектр есть ограниченное множество. § 2. Симметризуемые операторы Оп р е д е л е н и е . Линейный оператор А будем назы­ вать симметризуемым, если существует положительный •самосопряженный оператор С определенный во всем про­ странстве Н, перестановочный с оператором А так что оператор СА —АС является самосопряженным. Теорема. Если замкнутый оператор Л, со всюду плотной областью определения, является симметризуемым при по­ мощи оператора С, причем точка Х= 0 не принадлежит спектру оператора С, то спектр оператора А является веще­ ственным. До к а з а т е л ь с т в о . Так как спектр самосопряженно­ го оператора образует замкнутое множество и так как X= О не принадлежит спектру оператора С, то заключаем, что спектр лежит правее некоторого положительного числа а. Таким образом, спектр ас оператора С лежит в некотором сегменте fa, р], т. е. асе [а, *3], где а > 0 (1) Как известно, точной нижней и верхней гранями для то­ чек спектра оператора С являются числа sup (С / , / ) и inf{Cf, f) при |!/|| = 1, т. е. a, е [inf(Cf), sup (Cf, /)]. (2) Из формул (1) и (2) заключаем, что О< a < inf (Bf ,/) < sup (Cf , f) < P при |l/|| = 1. (3) Введем новое скалярное произведение согласно формулы (f,g)c = {Cf ,g) . Нетрудно видеть, что при этом сохраняются все свойства скалярного произведения. Действительно, 1°- (/. g)e= (Cf, g ) = (f, Cg) = (Сg, f ) = (g,f)c; 2°. (A + f 2,g) = (C ( /, + / ,) , g) = (G /,-f CU g ) = (Cfvg) + + {Cft,g) - (fug)c + (Ug)c-, 3°. (X/, g )c= (X Cf, g) = X (Cf, g) = X(/, g)c, где X— скаляр 181