УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Если существуют сопряженные операторы для операто­ ров А и В, то сопряженный оператор для произведения, находится по формуле (АВ)* = В*А*. Линейный оператор А называется симметрическим (либо» эрмитовым), если: 1. Область определения D(A) плотна в И. 2. Для любых двух элементов /, g из D (А) имеет место равенство (A f,g) = (f,Ag). Из этого определения следует, что (Л / , / ) при любом feD (A ) вещественно. Если для симметрического оператора А выполняется) условие ( Д / , / ) > 0, то симметрический оператор называет­ ся положительным. Если А — симметрический оператор, то совершенно очевидно, что А* является расширением оператора А, т. е. область определения оператора А* включает область оп­ ределения оператора А, а на области О(А) эти операторы; совпадают. Если симметрический оператор А совпадает со своим: сопряженным А*, т. е. А = А *, то оператор А называется самосопряженным. Произведение двух операторов А и В определяется соотношением AB f = A(Bf), при условии, что f 6.0(5) и R(B) b D(A). Если А положительный само- «. л. сопряженный оператор, то У А — Д" есть, по определению^ положительный самосопряженный оператор, квадрат кото­ рого равен А. Такой оператор всегда существует и притом только один. Если отображение области определения D (А) на область значений 5(Л) является взаимно однозначным, то обратное отображение R (Л) на D (Д) называется оператором, обрат­ ным к данному и обозначается Л-1. Единичным оператором называется линейный оператор Е удовлетворяющий условию E f— / для каждого /еЯ . Регулярными точками оператора А называются значения параметра X, для которых обратный оператор (А — >ч£)~ь существует, определен всюду в Н и ограничен. Все точки комплексной плоскости, не являющиеся регу­ лярными, образуют спектр оператора А. Спектр самосопряженного оператора А обладает следую­ щими свойствами: 180