УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

зия N, принадлежащего И, другой элемент g из Н и об­ ладающая свойством линейности, т. е. А О ч f\ + ^ 2 / 2 ) = ^ lA / ' , + / ЙА /•_>, где Х1( Х2—комплексные числа. Область определения оператора А (линейное многообра­ зие N) мы будем обозначать через D(A), область значений (множество всех значений оператора) через R (А). Область определения D(A) оператора А называется всюду плотной в И, если для каждого элемента ЛеЯ сущест­ вует такая последовательность f neD(A) так что lim\\fn — Л— Оо — / | | = 0. Линейный оператор А называется ограниченным, -если существует положительное число М так что выпол­ няется неравенство IJA /|| М \ f\\ при / 6 Z)(А). Условие ограниченности оператора эквивалентно условию непрерывности, т. е. из lim\\ f n — / | | —0 следует, что /г— со lim || A /„— A f || = 0 при /,/„е£>(А). Л— оо Нормой оператора называется число sup\\Af\\ при j |/ | | = s и обозначается ЦАЦ. Из определения нормы опера­ тора следует, что \ \A fW ’ 1И11 • 1|/11- Последовательность операторов А„, определенных во всем пространстве Я, называется сильно сходящейся к опера­ тору А, если ИтЦ.Ап / —А/ | | = 0 для каждого /еЯ . Ли- нейный оператор А называется замкнутым, если из уело- вий / гее£>(А) (п— 1,2,...), /ш | | / я— /|| = 0, lim\\Afn — /I- о о /I —00 —Л|| —0 следует, что /е£)(А) и h =A f . Всякому оператору А с плотной в Я областью опреде­ ления D{A ) отвечает один и только один оператор А*, такой что feD(A*) и А= А* / тогда и только тогда, когда (Ag, f ) = (g, h), где geD(A). Оператор А* называется со­ пряженным с оператором А. Если область определения замкнутого оператора А всюду плотна в Я, то А**= (А*)*=А. 32* ,179