УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

логии и обозначений книги: Н. Ахиезера и Н. Глазмана „Теория линейных операторов11, 1950 г. § 1. Вспомогательные сведения В этом параграфе мы изложим понятия и предложения из теории линейных операторов, которыми будем в даль­ нейшем пользоваться. Предложения из теории операторов приводятся без доказательства °'7. Гильбертовым пространством называется совокупность Н элементов / , g,... удовлетворяющих следующим усло­ виям: 1°. Они образуют комплексную линейную систему, т. е. абелеву группу по сложению, в которой определено умно­ жение на комплексные числа, содержащую вместе с эле­ ментами / и g их линейную комбинацию X/-f-jj.g. 2°. Каждой упорядоченной паре элементов / , g отнесено комплексное число (f,g), их скалярное произведение, удов­ летворяющее требованиям: а) ( Л + / 2. g) = (А . g) + (Л , g) б) О f>g) = M I ’S)< где X—скаляр в) (g./ )= < / .£ ) г) ( / , / ) > 0, если / Ф 0. 3°. Совокупность элементов Н является полной, т. е. из условия lim\\f т—fn || = 0 следует, что существует эле- 11,1 00 мент/, принадлежащий совокупности Н, так что litn\\fn — tl—СО — f | |= 0 . При этом норма ||/|| элемента / определяется по формуле Норма этого элемента обладает следующими свойствами: 1°. | |Xу/| = |Х[. /!|, где X—скаляр; 2а. {f,g)\ < | |/i |- |g||— неравенство Коши-Буняковского; 3°. 11/4-gj| < | | / |~Hlgll— неравенство треугольника. Две нормы называются топологически эквивалентными, если они определяют один и тот же предельный элемент, т. е. из lim\\fn —/Pi = 0 следует, что lim\\f n— ||»= 0 и И — СО Л — =0 наоборот. Линейным оператором А называется функция, относящая каждому элементу / из некоторого линейного многообра­ 178