УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Докажем достаточность. Пусть выполняется условие З.0 Тогда векторы ( а / u...a/in) являются линейными комбина­ циями векторов (а,!, ... ай„) 6© Ни. Но векторы ( а/ 2„) ■(} = 1.2, .../7) составляют базис и, следовательно, О Nu С©Яи, т. е. /Vu С Отсюда следует, что Аг С А* и в силу леммы 2 оператор А,- —эрмитов. Теорема доказана. З амеч ание . Из условия 3° вытекают условия 1° и 2°. Действительно, как видно из доказательства теоремы при выполнении условия 3° оператор А г эрмитов и, следователь­ но, имеют место 1° и 2°. Примеры. 1) Рассмотрим А3, соот­ ветствующее дифференциальной системе Т{у) = у" U1(y) = y{a)-\-y\a) = 0 и,(у)=у'(Ь) = 0 и3(у) = У (Ь) = 0 . Оператор А3 является эрмитовым, ибо сопряженная си­ стема граничных условий (см. пример на стр. 170) U' (у) — = У(а) + у'(а)=0 ,и 1 1 0 0, 0 0 0 1 ) 0 1 0 1 1 0 0 2) Рассмотрим оператор А,, соответствующий дифферен­ циальной системе Т(у) = у" ' £ЛОО = У(а) + / ( * ) = о и,(у) - у' (а) + уф) = 0. Оператор А-, не является эрмитовым, ибо, как легко вы­ числить, сопряженная система граничных условий будет U1'(y) = - y { a ) + y' ф) = 0 U2 (У) = У' (а) - У Ф) = 0 и 1 0 0 1 0 1 1 0 -1 0 0 1 0 1 - -1 0 175