УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Те о р ема 8. Для того чтобы оператор Аг был эрмито­ вым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следую­ щие условия: 1°. Г— Т‘ 2°. г > ti 3°. ап . . . . а12(1 rang у ■ 11 • 11 (Р+ г = 2я). До к а з а т е л ь с т в о . Докажем необходимость. Пусть Аг— эрмитов. Так как Аг ) А0, то из теоремы 7 получаем условие 1°. Для доказательства 2° заметим, что Аг САг* и, следовательно, из теоремы 4 получаем, что Ни С Л(,. Но dimHu=p, dimNa= r и р-\-г = 2п, следовательно, г>п . Для доказательства 3° заметим, что подпространства Н„ и Nu определяются соответственно системами линейно не­ зависимых уравнений: Но так как Ни С Ни, то ) 0/V„ и, следовательно, векторы ( а у / , . . л / 2п) ( г = 1 , 2 , . . .р ) лежат в подпространст­ ве © Ии с базисом (аа , ...а/2Я) ибо ( dimQHu=r) (i=l,2,...r). Таким образом, векторы (ау/,...а/2„) являются линейными комбинациями векторов базиса (ап, ... апп) и, следователь­ но, условие 3° выполняется. Н и ~ У V — 0 ( * = 1>2,...г) /с=1 In Отсюда следует, что векторы <*«,«)g© Ни (г'= 1,2, ...г) («/„ - Vi«) е 0 N* (У=1-2 , ... р). (50) 174