УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

и, следовательно, п п £ <W (/C_,)(a) + £ *iK+n/(K_1) (b) — 0 при/6 D(B), к- 1 к =1 т. е. D(B) = Dr и В = Аг. Теорема доказана- Рассмотрим теперь всевозможные эрмитовые расширения оператора А 0 . Т е о р ема 7. Оператор Д, имеет эрмитовые расшире­ ния тогда и только тогда, если Т = Т'. До к а з а т е л ь с т в о . Пусть Т— Т. Покажем, что опе­ ратор А0 имеет индексы дефекта (л, я). Действительно, также как и в лемме I легко получить, что Ц (а, Ь)-—R (Д0—XI)® N\, где TVx совокупность решений ср дифференциального урав­ нения ( Т — М)ср = 0. Следовательно, dimN\ = dimNi —п и значит индексы дефекта эрмитового оператора Ап суть (я, я). По теореме Неймана1 о расширении эрмитового опе­ ратора, получаем, что существуют эрмитовые, а также самосопряженные расширения оператора Л0. Если ТФ Т\ то оператор А0 не имеет эрмитовых рас­ ширений. Действительно, если б существовало эрмитовое расширение Аг А0, то (Аг /, g) = (/, Arg ) при /, g g D (Ar) и значит (A0f,g) = (/ ,A0g) при f ,geD (AQ), т. e. A0 является эрмитовым и по теореме 3 мы получили бы, что Т = Т', что противоречит предположению. Лемма 2. Линейный оператор В, имеющий область определения D(B) всюду плотную в гильбертовом простран­ стве, является эрмитовым тогда и только тогда, если В QВ *, До к а з а т е л ь с т в о . Пусть В — эрмитов, т. е. (Bf,q)= = (f ,Bg) при f,geD(B) . Тогда (Bf ,g) =(/, В*g) при / е £>(£), g е D (В*), т. е. D(B) QD(Bi:) и B*g —Bg при geD(B), значит В С В *. Наоборот, пусть В С В*. Тогда (Bf,g) = (f,B*g)=*(f,Bg) при f,geD(B), т. е. В— эрмитов. 173