УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

с другой стороны по теореме Неймана АГ**= А, следовательно, АГ= АГ. Теорема доказана. § 4. Расширения оператора А0 Каждый оператор Аг, соответствующий какой-либо си­ стеме линейных однородных граничных условий типа (30), находится между Ап и А, т. е. А0С А,- С А. (48). Таким образом Ао является минимальным, а Л—максималь­ ным в классе операторов, соответствующих линейным од­ нородным граничным условиям. Нетрудно показать, что условие (48) полностью характе­ ризует класс операторов, соответствующих линейным одно­ родным граничным условиям типа (30). Имеет место тео­ рема. Те ор ема 6. Всякий оператор В, определенный соот­ ношением B f= T(f) при feD(B) и удовлетворяющих усло­ вию А0 СВСА , имеет область определения D(B), состоящую из функций, удовлетворяющих некоторой системе линейных однородных граничных условий типа (30). До к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим векторное простран­ ство 2 п измерений Я, элементами которого являются со­ вокупности 2л комплексных чисел (;i, ?2,... S2n). Каждому элементу fsD(B) поставим в соответствие элемент из Н с(? 1 ,...?2„) полагая Ъ= Па),. .Лп= & - Х)(а), «»+i = /(*) ,- = Таким образом D{B) соответствует некоторое подпрост­ ранство Ни С Я. Пусть dim Я„ = р, тогда существует 2л — —р — г линейно независимых уравнений, которым удов­ летворяют элементы ;еЯ„, т. е. 2 п V k = o к— 1 172