УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

есть _у(0) 4- е‘ ©_у(1) = 0. Опр е д е л е ни е . Оператором Лг называется линейный; оператор с областью определения D (Лг)— Dr и Arfz=T{f) при f&D{Ar). Те ор ема 5. Для всякого оператора Аг существует- сопряженный оператор А который определяется по фор­ мулам D(A*) = DP'\ A*rf — T'(f ) при feDp'. Оператор Аг является замкнутым. До к а з а т е л ь с т в о . Оператор Аг находится между А^ и А, т. е. Л0С АГС А. £)(Л,.*) состоит из всех функций g, удовлетворяющих ус­ ловию (Arf,g) = (f,g*) при / е Д.. (47) Если geDp' и g* = T'(g), то условие (47) выполняется, ибо (Аг/, g) - ( / , g*) = { [Т (/) • ~g—f ■T'(g)]dx = \ Р( / ,g) 0. a a Покажем обратное, что из условия (47) следует, что gzDp и g* — T'(g). Действительно, А,. ЭЛ0 и, следова­ тельно, А г*С Л0*. Из (47) следует: (Аг/ , g) = (Т (/) , g) при / е Д (/.§*) = (/, A*g) = (/, А0*g) = (/, Г (g)) (T( f) ,g)-( f ,T' (g)) = 0 b Из (4) получаем, что |Р(/ , g) = 0 при / е Д . а Из следствия 3° теоремы 4 следует, что g&Dp' и, следо­ вательно, g* —A * g —A<fg = Т (g), что и требовалось доказать. Докажем замкнутость Лг. Действительно, оператор Л,**, сопряженный к Лг*, определяется следующим образом: D(A/*) —Dr. Ar**f = (T')'(/)=T(f) (на основании следствия 2° из теоремы 4), т. е. Аг** ~ Аг, условий* для дифференциального оператора Т(у) —i— * Этот же пример разобран другим путем Плеснером I см. (2), стр. 108. 171