УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Теперь легко найти сопряженную систему граничных условий. Пусть Dr совокупность функций CS и удовлет­ воряющих граничным условиям (32). Тогда Dr соответ­ ствует некоторое подпространство Ни вН. Найдем ортого нальное дополнение Ни' к Ни, г. е. Н = Ни®Н,'. Найдем подпространство Nu С Н по формуле Nu = Л -1 Ни'. Подпространству Nu соответствует некоторая система ли­ нейно независимых граничных условий П П Ui ' ( y )= y i а'<жУ<*-1>(а)+ V а'<ж+яу(*-1>(в) = 0- (37) К=1 , Х ~ 1 (/ = 1,2 ,.../») Система граничных условий (37) является сопряженной к системе граничных условий (32). Действительно, если U.(j ) - 0 (г= 1, 2,...г) и (Д(£)=0 (/ —1,2,.../») и/~?(5„...61П)вЯи и т|(т)1,...т)2П)еУУц, то Ат\еНи' и, следовательно, из (36) получаем, что |/Y/,g) = 0 . а Докажем, что г 4 р —Ъх. Действительно, dimHu— ‘2п—г, dimHu' — r. Но dimNu— = dimMu' (ибо 4-0), значит dimNu— r и, следова­ тельно, р — 2п — г, т. е. р + г = 2п. Сл е д с т в и е 1°.-Сопряженная система граничных усло­ вий определяется неоднозначно, с точностью до неособен­ ного преобразования. Сл е д с т в и е 2°. Система граничных условий U'j (у)— = 0 (у— 1, 2,...р) имеет в качестве сопряженной системы Ui (у) — 0 (г =1,2,...г). Следствия 1° и 2° непосредственно вытекают из метода построения сопряженной системы. ь Сл е д с т в и е 3°. Если \Р(и, "Р) = 0 для всех ueDr, то v еDp', т. е. U/(v) = 0 (/=1,2,.../»). Действительно, если и ~ 5(?,,...?г„) и ^ — " Л 70 иа (36) следует, что T)e/Vu и, следовательно, veD'p. 167