УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

По известной теореме Неймана А** = А . (23), Таким образом, из (22) и (23) получаем, что А — А, т. е. оператор А является замкнутым. Таким образом до­ казывается замкнутость оператора А0. Доказанная теорема была еще установлена Гальпериным ’1, -однако другим более сложным путем. Т е о р е м а 2. Для оператора А0 существует обратный «йератор Л0-1, причем £>,Д0-1) = ON. До к а з а т е л ь с т в о . Это следует из того, что Л0^ = 0, тогда и только тогда, если g = 0. Действительно, если g —0, то g является решением дифференциальной си­ стемы j T(g) — О ( g(a) » (а) = ... = g*~'\a) = 0. (24) В силу единственности решения дифференциальной системы (24) получаем, что ^(лг) = 0. Из леммы 1 следует, что ЩА г г) = ® N. Те ор ема 3. Оператор А0 является эрмитовым, тогда •и только тогда, когда Т == Т. До к а з а т е л ь с т в о . Пусть Т =■Т. Тогда из (4) сле­ дует, что ] [Т(Л ■~g— f . T(g)] d x= PQ,g)-= 0 при f ,geS0, т. е. {T(f),g)—(f, T(g)) при f , g eS 0. (25) Значит, (A0f,g) = (T(f),g) = (f,Tig))=:(f,A»g) при f ,geS0 (A0f ,g)—(f,A0g) при f ,geD (A0). (26) *и оператор А0 является эрмитовым. Обратно, пусть выполняется (26). Тогда из (4) и (26) следует (Л0f,g) = (T (/), g) = (/, Г (g)) при /, g еS0 ( f ,A0g) = (/, Т (g)) (/, r ( g ) - r ( g ) ) = 0 при f ,geS0. (27) Так как S0 всюду плотна в L2{a,b), то из (27) следует, гчто T(g)-T'is) при geS9, 11* 163