УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Если geS и g* =з T'(g), то соотношение (16) выполняется в силу (4). Покажем обратное, что если g и g* удовлетво­ ряют (16), то ge& и g* — Г (g). Для этого подыщем g0eL2(a,b) так, чтобы T(go) = §*- (17) Тогда из (4) и (16) следует Aot>(go) = T(J),g0)= (t,T'(g0))=(f ,g*) при / б 5 0. (18) Из (16) и (18) следует, что (А0/ , ? —g0) = 0 при / e S 0 м, следовательно, по лемме 1, получаем g - g ^ eN , т. е. g = g-0-t-<p где <peTV. Значит geS и g* — V (g0) = Т' (g). Таким образом А*0 определяется однозначно. Отсюда так­ же следует, что D(A0) = S0 всюду плотна в L2(a,b). Р) Так как А эА0, то А*еА0*. Оператор А* определен для тех элементов geL2(a,b), которые удовлетворяют со­ отношению (A f ,g )—(f,g*) при feD(A). (19) Если geS0 и g*T'(g), то соотношение (19) выполняется в силу (4). Покажем обратное, что из условия (19) следует, что g<zS0 и g* = Т (g). Действительно, (Af ,g) = (T(f),g) . при / 65 (/. £*) - (/» A* g) = (f,A0*g ) = (/, Г (g)), следовательно, (T{f),g)‘= (/> T'(g)) при / 6 S. (20) Из (4) и (20) следует, что I P</,ff)=0 при feS . (21) а Это условие может выполняться только в том случае, если g e S 0. Таким образом, A* g—A*0g = Т ' (g) и g eПо­ дскажем теперь, что операторы А 0 и А являются замк­ нутыми. Из (а) мы находим, что оператор А**, сопряжен­ ный к оператору А*, определяется следующим образом: £)(А*::) = S и А ** /= (П ' ( / ) = П / ) 1 и, следовательно, А*®= А. (22) 1 Из теории дифференциальных уравнений известно, что союзный оператор для союзного оператора есть данный оператор, т. е. (Т')'—Т. 162