УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

‘и следовательно, (Л0 и, v) = О, R(A0)±N . Покажем обратное, что если g±.N, то geR(An). Найдем g0 так, чтобы fT(g„) = g \gAb) = g'o(b)=...=g 0<»-«(6) = 0. (12) Из ,(4) и (12) следует, что для v eN J' T(g0) . v d x = \P(gt,v) = P(g0,v)\x=a, (13) а а т. е. (g, v) = P(go, v) х—а • Подберем vK (к = 1, 2,...п) так, чтобы они удовлетворяли дифференциальным системам: Т 'Ы = О О при j Ф к J(— 1 ypl+KV(i)\x=a i— 0 (j - 1,2,...я). (14) 1 при j — к Это всегда возможно, ибо система граничных условий в (14) неособенная (ибо детерминат из коэффициента граничных условий = ± рп{п){а) ф 0). Из (4), (13) и (14) следует, что P(go,vK) '.r=a= go{K~')(a) = 0 при к = 1,2,... п, т. е. g0eD(A0) и, следовательно, g = T(g0) е /?(.40). Лемма доказана. Т е о р е м а 1. Операторы Л0 и Л имеют сопряженные операторы А * А*, которые определяются следующим об­ разом: a) D(A „) = 5 и Л*0/ = Т (/) для / еS р) Z) (Л*)=50 и А* / = Т (/) для /eS0. (15) Операторы Л0 и Л замкнуты. До к а з а т е л ь с т в о , а) Оператор Л0* определен для тех элементов gGL2(a,b), которые удовлетворяют соотно­ шению (-4оЛ£) = (/>£*) ПРИ /е£>(Л0). (16) 11 Ученые записки.V 161