УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Дифференциальный оператор Т{ у) мы будем рассматривать только для тех функций /е Z.2(a,6), для которых Т/еЬ^(а,Ь). Совокупность этих функций образует некоторое множество Q e L2(a, b), так что feQ, если Tf&L^(a,b). Множество Q не пусто, ибо содержит совокупность всех полиномов. Известно, что если q(x) е Ц(а,Ь), то дифференциальная система T{v) = q{x) У (*о) = у ' (*о) - ••• =Уп~1(Х0) при а < х0 < Ъ (6) имеет единственное решение у0(х)е L2(a, Ь), причем у ог у0’ ,...Уо(”-,) абсолютно непрерывны, а y jn)eЬ2(а,Ь). § 2. Операторы А0 и А Пусть S является подмножеством L2(a,b), состоящим из функций, удовлетворяющих условиям: 1°. абсолютно непрерывны (к = 1, 2,... //). 2°. /<»>(л :)eL2(a,b). ' (7) Пусть 50е 5 и состоит из тех функций feS, которые удовлетворяют граничным условиям: /<*-»(a) = /«-i)(6) = 0 (к = 1, 2,...и). (8> Определения. 1. Оператором Д0 будем называть линей­ ный оператор с областью определения £)(Л0) = 50 и / = T(f) при /еО (Л 0). (9) 2. Оператором А будем называть линейный оператор с областью определения D(A) = S и A f—T(f) при feD(A). (10) Пользуясь методом М. Г. Крейна 3, нетрудно доказать следующую лемму. Лемма 1. Область значений оператора Л0 и совокуп­ ность N решений v уравнения Т1(v)— 0 суть ортогональ­ ные дополнения друг к другу в Z.2(a,6), т. е. L.i (a,b) = R(A0)ON. (11) До к а з а т е л ь с т в о . Пусть и е D (А0) и v е N, тогда из (4)> следует j [ Т (и) . v — и . ТЩ] dx —О а 160