УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

«оператора А называется минимальное замкнутое расшире­ ние оператора А. Отметим, что если оператор Л допускает замыкание, то, как доказал Нейман4, существует Л** = = (Л*)* и А**—А. Будем рассматривать дифференциальный оператор вида П Т { у )= У ] Рк(х) ~~~7~ при а < X< Ь, (1) dx* k=о в котором коэффициенты рк(х) (к— 0, 1, 2,... п) комплексно­ значные функции, удовлетворяющие следующим условиям: Iе*. Существует pKW ( i= 1,2, ...к; к = 1, 2,...«). 2°. J \pK<*)(x)\dx <оо (к= 1,2,... //— 1). а b 3°. Г _ * <оо . * (2) J /' л (*)! а Из условий (2) следует, что союзный оператор Т'(у) пред­ ставляется в виде 1 _ Т(у) — (— 1)к ПрИ а < х < Ъ . (3) -*“*** dxH к—О Известно1, что операторы Т(у) и Т'(у) связаны так назы­ ваемой формулой Лагранжа Я Т(и).v - и. Tjvj] dx = | Р(и, v), а а где 11 tl—j Р (и, v) = 2J и7_1)2 ^ ( - 1)/ (4) ;= 1 i =о Пусть Lt (а, Ъ ) совокупность всехкомплексно-значных -функцийс суммируемым квадратом модуля в (а, Ь), т. е. ь f e L 2(a,b), если J | /(*}j2 dx < оо. Как известно2, L2(a,b) яв- а ляется гильбертовым пространством, в котором скалярное произведение определяется по формуле (f,g)— lf(x).~g(x)dx. (5) * Здесь рассматриваются интегралы в смысле Лебега. 159