УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

/, принадлежащий совокупности Н, так что lim | | /д— /}| —0. п —ОО При этом норма ||/.|| элемента / определяется по фор­ муле | | / | | = j/" ( / , /) . Замкнутое линейное многообразие элементов N, принад­ лежащее данному пространству Н, называется подпростран­ ством. Два подпространства Й1 и Н2 будут ортогональны ми, если каждый элемент, принадлежащий Н\ ортогонален каждому элементу, принадлежащему /Д ; т. е. если Д е /Д , Д, е Н2, то (/1( /2) = 0. Подпространство /Д называется ор­ тогональным дополнением подпространства /Д, в прост­ ранстве Н, если Н2 ортогонально к /Д и каждый элемент / е И представляется в виде /=Д -t -Д, где ДеЯ ] и / ,е Я,. Символически это записывается так Д = Я1ФД2, либо Я, = е Д , Линейным оператором А называется функция, относящая каждому элементу / из некоторого линейного многообразия N в Я другой элемент g из Я и обладающая свойством линейности, т. е. А (ХД -(-р. Д)=Х ЛдД-цЛД, где X, р.—ком­ плексные числа. Область определения оператора А (линейное многооб­ разие А/) мы будем обозначать через D(A), область значе­ ний (множество всех значений оператора) через R{A). Линейный оператор называется замкнутым, если из. /„ е£>(Л) (л=1, 2,...), lim\ fn —/ | | = 0, lim || А h |j=0 сле- П —i► ОО П —*со дует, что feD(A) и /г=Л/. Область определения Я(Л) опе­ ратора А называется всюду плотной в Я, если для каждого элемента he И существует такая последовательность / пе D(A), так что lim\\fn — h\\ — 0. и—со Всякому оператору А с плотной в Н областью опреде­ ления D(A) отвечает один и только один оператор А*, такой что / 6 D(A) и h=A*f, тогда и только тогда, когда (Ag, /) = (g, h), где geD(A). Оператор Л* называется сопря­ женным с оператором А. Оператор А называется эрмито­ вым, если (Л/, (?) = (/, /%), где /, geD(A). Эрмитовые опера­ торы обладают целым рядом замечательных свойств. Они хорошо изучены и встречаются при решении различных задач математической физики и квантовой механики. Оператор А называется расширением оператора А, если D(A) э D (А) и А / = Л т при всех fsD(A). Замыканием Л 158