УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Доцент Г. М. ФИНКЕЛЫЛТЕ^Н, кандидат физико-математических наук О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Целью настоящей статьи является установление некото­ рых свойств обыкновенных дифференциальных операторов методами теории операторов. Некоторые из приведенных результатов не являются новыми (теоремы 1, 4), однако в данной статье даются новые, более простые доказатель­ ства на основе единого метода. § 1. Основные понятия В этом параграфе устанавливаются те понятия и факты из теории операторов и теории дифференциальных уравне­ ний, которые мы используем в дальнейшем изложении. Гильбертовым пространством называется совокупность Н элементов /, g, .. . , удовлетворяющих следующим усло­ виям: 1. Они образуют комплексную линейную систему, т. е. абелеву группу по сложению, в которой определено умно­ жение на комплексные числа, содержащую вместе с эле­ ментами / и g их линейную комбинацию X/ f ag. 2. Каждой упорядоченной паре элементов /, g отнесено комплексное число (/, g), их скалярное произведение, удов­ летворяющее требованиям: а) (Л + fvg)=z (fig) + (f»g) б) (X/, g) = Х(/, g), где X—скаляр в) (g, / ) = (/.«) г) ( / . / ) > О, если /=£0. 3. Совокупность элементов Н является полной, т. е. из условия lim || fm — / л || =0 следует, что существует элемент т, п — оо 157