УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Общая форма линейного оператора, который любое пространство £ отображает на пространство t >(&)' абстрактных функций со значением из (£') с ограниченным изменением (£') Общая форма линейного оператора у = и(к), который любое линейное пространство Е отображает на пространство V(P) имеет вид: Ut= Ut(x), где Ut линейный оператор по х и функция с (£') ограниченным изменением по t. Другими словами, упомянутый общий вид есть не что иное, как линейный оператор, зависящий от параметра и с [£'] ограниченным изменением по параметру. По опреде­ лению абстрактной функции с [£’] ограниченным измене­ нием элементу х еЕ соответствует функция со значениями из £ ' с ограниченным изменением (Е). Эго соответствие аддитивно. Непрерывность его следует нз\у\ — уаг [Ut{x)\ < < к х . Последнее утверждение оснозано на предыдущей теореме. Легко видеть, что и каждый оператор, который отображает £ на V(E')', может быть представлен в форме Ut —Ut(x). При фиксированном t соответствует каждому х элемент из пространства £'. Это соответствие дает ли­ нейный оператор, что и требовалось доказать. Общая форма вполне непрерывного оператора, отображающего любое Е на V( e >' Рассуждениями, как в предыдущем случае, можно по­ казать, что общий вид вполне непрерывного оператора, отображающего любое £ на V^y, дается абстрактными функциями Ut(x) с [£ ] ограниченным изменением, облада­ ющими свойством, что каждое ограниченное множество л|<1 из £ они переводят в компактное множество функ­ ций Ut(x) с {£') ограниченным изменением в v^) .