УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

пространства Е1. Это соответствие устанавливается опера­ тором Ut из [Е,Е'\. Считая t переменным, будем иметь при различных а функцию Ut непрерывную [£'']. Следовательно, каждое линейное отображение простран­ ства Е на пространстве QE" дается непрерывной [£"] аб­ страктной функцией со значениями из [£,£'] или же дру­ гими словами линейным оператором, зависящим от пара­ метра t и непрерывным [Е1] по параметру. Обратно каж­ дая [£"] непрерывная функция Ut со значением из \Е.Е'} будет представлять собою при фиксированном t линейный оператор, а при t переменном оператор, зависящий от па­ раметра непрерывный [£"] по параметру и дающий линей­ ное отображение Е на С( е ')"• Аддитивность этого соответ­ ствия очевидна, непрерывность следует из теоремы 1 § 4 первой главы этой работы. Таким образом, каждое линейное отображение любого пространства Е на пространство С(Я')" характеризуется [£''| непрерывной абстрактной функцией Ut, где0<*<1 или же линейным оператором Ut(x), зависящим от параметра t и непрерывным по параметру [£"]. Если Е' —Е ', то получим общий вид линейного оператора, отображающего любое пространство Е на пространство С[ е >) непрерывных [£'] аб­ страктных функций со значениями из Е'\ если же Е”—R, то будем иметь обший вид линейного оператора, отобража­ ющего любое пространство Е на пространство Qпо' непре­ рывных в смысле (А?)абстрактных функций со значением из £'. 0 пр е д е л е ни с 5. Функция Ut называется с ограни­ ченным изменением [£'’], если -при каждом х еЕ и любом ve [£',£".] функция t>[£/,(a)] по£с ограниченным изменением (£"), если Е ' '= R, то имеем функцию с ограниченным из­ менением [/?]; если же Е' '—Е ', то получаем функцию с ог­ раниченным изменением [£']. Легко видеть, что для Ut ог­ раниченность изменения [Е' \ вытекает из ограниченности из­ менения [£'J и влечет за собой [£] ограниченность изменения. Т е о р е м а 1. Если функции Ut [£'] с ограниченным изме­ нением, то существует такое постоянное к, что [у|<к|х| при любом х из £. Это утверждение легко доказывается с по­ мощью леммы, доказанной Гельфандом в цитированной вы­ ше диссертации1. В нашем случае, достаточно положить П —1I р(х) = bornsup. 2 \U(.,Sx)—U t. ( а ) | . Доказательства не приво­ дим. i 01 1 Математич. сбор»., т. 4, 1938, стр. 240.