УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Сопоставляя последнее неравенство с неравенством (4), за­ ключим, что | / | С(С)— Variation G{t,S). Следовательно, по­ лучим теорему: Общий вид линейного функционала /(л> в пространстве Cw выражается кратным интегралом Стиль- тьеса f(x) — ]\x(t,S)ddG(t,S), где G(t,S ) функция с огра- оо ниченным изменением. Норма | / | Qf) = Variation G(t,S). § 2. Общая форма линейного оператора, отображающего любое линейное пространство £ на пространство /я, Пусть будет у = и(х) линейный оператор, который точ­ ке х из Е точку у = (У 1 ,у 2, . -Уп , . . .) из Г Е, приводит в соот­ ветствие. При фиксированном п, у п будет оператором относитель­ но х из пространства [Е,Е'}, т. е. vn -- Un{x). у п удовлетво- 00 со ряют условию I уя|< оо. Следовательно, 2 U,,(x)\ <оо. Ввиду 05 я = 1 п= \ этого ряд W n { x ) сходится безусловно [£']. Справедливо* п= 1 и обратное заключение: если соответствие между простран­ ствами Е и Iх я' установлено безусловно сходящимися [Е1] ря­ дом операторов из [Е,Е], то этот ряд представляет собою линейный оператор. Аддитивность соответствия, выражен­ ного безусловно сходящимся рядом операторов [ Е '\, оче­ видна. Непрерывность его следует из того, что для ряда безу­ словно сходящихся операторов из \Е,Е'\ имеет место со­ отношение: + \U2(x)\ Рп(х)\ + .. .< М\х | при каж­ дом хе Е (см. теорему § 2 гл. 1). Следовательно, имеет место теорема: Каждый линейный оператор у —и(х), который любое линейное пространство Е на ГЕ, отображает, имеет вид Уп— и„(х ) (л=1,2,..., где ип(х) операторы из [Е,Е'\ со и ряд W n безусловно сходится [Е'\. п —1 § 3. Общий вид линейного оператора, отображающего любое пространство Е на пространство q.e, „ непрерывных (Е") абстрактных функций с значениями из Е Пусть будет x t= U(x) линейный оператор, отображаю­ щий Е на С(£,у/ ; тогда при фиксированном t каждому эле­ менту л: пространства Е будет соответствовать элемент