УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

скости. За норму в нем принимаем max • |Н(^,5)|. Ставим о «; / <1 О ч< « ч< 1 теперь задачу об определении общего вида линейного функ­ ционала в пространстве С<с). Ввиду сказанного, эту проблему можно заменить задачей об отыскании общего вида линейного функционала в про­ странстве непрерывных функций двух переменных, опреде­ ленных в единичном квадрате плоскости. Рассмотрим про­ странство УИ(.„), т. е. пространство абстрактных функций, измеримых по Лебегу (М) ограниченных, значения которых принадлежат М. Эго пространство будет эквивалентно про­ странству функций двух действительных переменных, опре­ деленных в единичном квадрате плоскости и обладающих свойствами измеримости по Лебегу и ограниченности. Нор­ му в нем определим как Vremax \U(t,S)\. В виду того, что пространство непрерывных функций двух действительных переменных эквивалентно пространству C(q , а пространство измеримых ограниченных функций тех же переменных— эквивалентно пространству то их будем обозначать со­ ответственно символами С(с) и М(М), которыми обозначали эквивалентные им пространства абстрактных функций. Нор­ ма, определенная в пространстве совпадает с нормой для функции непрерывных пространства С^у Пространство •С(о является подпространством М(М). Пусть будет дан функ­ ционал линейный f(x), определенный в C(ch существует в силу известной теоремы функционал линейный F {х), опре­ деленный в М[М) и удовлетворяющий условиям: F(x) — / (х) |F 4 > - i / ! cM. 1 для\ ° < - < * Рассмотрим функцию F(Zt<s) = G(t,S). Покажем, что она с ограниченным изменением. Разобьем единичный квадрат плоскости на прямоугольники следующим образом: 0 = *о<*1<*1<- .- .<4 .-1<*« = 1, 0 = S0< S 1< S 2< . . .< -< S„_x•< 5„ = 1. Нужно показать, что существует такое по- Г стоянное М, что имеет место неравенство а |Фо'1*) | 152