УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

ную функцию U(t,S) двух действительных переменных оп­ ределенную в единичном квадрате плоскости. Непрерыв­ ность функции U ( t,S ) легко следует из непрерывности зна­ чений функций xt по переменному S и равномерной сходи­ мости значений функции x t в (С) для каждого t. В самом деле, нужно показать, что для любого s > 0 существуют такие 8,(е) и 8а(е), что \U(t,S) — U (t0, 80)| < e, если t — ^0 [^ ®1 И I*-> ^0 <C^2- В силу непрерывности по ,Sфункции U (t,S) для данного ® можТю найти 8 ,>0 , чт0 \U(tc»S) —U(t0,S0)\<^ ° -..(I) при | 5 —50|< 8 2. Если же t-+t0, то U(t,S) сходится к U (t0,S) равномерно no S ввиду самого определения функции xt. Следовательно, при t — 10 j< о 1; | U (t,S) — U(f0,S) |< ® ...(2) для всех S. 2 Из неравенства (1) и (2) имеем: I и (t, S) - и (tt ,S0) i < ; u ( t , s ) - u (to, S) I+ 1 и (t0, S) - -u(t0,So)\<f + i =e> что и требовалось доказать. Обратно каждой непрерыв­ ной функции U(t,S) двух действительных переменных соответствует элемент пространства G\ q , т. е. абстракт­ ная функция непрерывная (С). Непрерывность U(t,S ) по S следствие непрерывности U(t,S) остается показать, что при любом t0,U(t,S) сходится к U (to, S) равномерно, когда tn—*t 0. Это можно обнаружить, пользуясь леммой Борель — Лебега и свойством* равномерной непрерывности непрерыв­ ной функции в замкнутом интервале. В самом деле, ввиду равномерной непрерывности функции U(t,S) можно окру­ жить каждую точку (t0S) окрестностью, что для внутрен­ них ее точек будет иметь место неравенство | U(t0,S — — U ( t , S) |< е (3). По лемме же Борель—Лебега из такого покрытия можем выделить конечное число окрестностей с указанным свойством. Эти окрестности определят собою около прямой t — t0 полосу шириною 2 5, для точек кото­ рой выполняется неравенство (3). Следовательно, вместо того, чтобы заниматься исследованием пространства С(с>, можем изучить пространство всех непрерывных функций двух переменных, определенных в единичном квадрате пло­ 151