УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

щенных пространств М абстрактных функций в смысле измеримостей (£’’) и (R) по Лебегу. Обозначать их будем через М(Е)' и М\ е \. Точно также даются понятия последних пространств со значениями функций из [Е,Е'\. Оп р е д е л е н и е 1. Скажем, что абстрактная функция» x t с ограниченным изменением в смысле (£')• есл|1 Для лю’ бого и из [Е,Е'\ функция n(xt) обладает свойством, что при любом подразделении сегмента [0,1] точками t,-, удовлетво­ ряющими условию 0= — l П сумма s |и — и ]j < /И (М —постоянное). Если Е' = R, то получаем понятие функции х, с ограничен­ ным изменением в смысле (/?), т. е. в слабом смысле; если же Е' —Е, то будем иметь функции с ограниченным изме­ нением в смысле (Е) или же по норме. В этом случае п 2 I x ti — х, !< М при каждом подразделении сегмента [0 1}» (=i | ' - 11 точками tj со свойством выше указанным. Очевидно (Е') ограниченность изменения функций вытекает из ( Е ) огра­ ниченности изменения ее и влечет за собой (R) ограничен­ ность изменения. Рассмотрим всевозможные абстрактные функции, опре­ деленные в промежутке 0 <с t <1 со значениями из неко­ торого Е и с ограниченным изменением в смысле ( R ) и причем х, при t — 0 равняется нулю Q пространства Е. За норму для функции x t можно принять постоянную L, удов­ летворяющую неравенству Vart [ t{xt)] <L \ f \ для любого / е [£,Р]. Это пространство будем обозначать V\i и назы­ вать пространством абстрактных функций с ограниченным изменением в смысле ( R). Аналогичным образом определяем пространство абстракт­ ных функций с ограниченным изменением в смысле (Е'} и ( Е ) и обозначаем их V(E)' и V(E)- ГЛ ABA II ОБЩИЕ ВИДЫ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ И ОПЕРАТОРОВ § 1. Общий вид линейного функционала в пространстве С(с), Обозначим через Сц) пространство абстрактных функций, значения которых принадлежат к пространству С и непре­ рывных (С). Пусть имеем абстрактную функцию x t , являю­ щуюся элементом из Сщ. Она определяет собой непрерыв­ на-