УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

странство С( е , е ') является подпространством С(и,Е'у/, послед* нее в свою очередь будет подпространством С\ е , е <\■ Аналогично сказанному выше можно определить понятия пространств С(Е), С(ву и С\Е\, где значения функций берутся из произвольного пространства Е. Например, первое из них называем пространством абстрактных функций непрерывных в смысле сходимости ( Е) и т. д. Пусть имеем пространство Е. Образуем из его элементов всевозможные последовательности: л-— х(х1г х., х3 ,хп...), СО удовлетворяющие условию, что ряд ^ \х п \ р является сходя- П =1 щимся, где р> 1. Совокупность этих последовательностей образует линейное и нормированное пространство, за 1 00 Р норму достаточно положить: |л;|— [^|х„ р\ . Она будет 7 1 = 1 выполнять аксиомы нормы. Если р— 2, то полученное пространство будем называть обобщенным гильбертовским, а при рф 2 обобщенным 1р и будем обозначать их через 1Рц. Рассмотрим всевозможные сходящиеся (Е) последова­ тельности элементов из пространства Е х — х(хих г, . х п, -Х/ 1 -Н,...). Эта совокупность образует линейное и нор­ мированное пространство. За норму принимаем |дс j = — bornsnp хп |. Это пространство будем обозначать через С(я> 1< я < «о и называть обобщенным пространством с в смысле сходи­ мости (£■). Аналогичным образом можем определить про­ странство последовательностей, сходящихся (£') и ( R ), норма в них определяется как и в первом случае. Обозначать их будем через сщ/ и сЕ\. Рассмотрим всевозможные ограниченные последователь­ ности элементов пространства Е. Они образуют линейное нормированное пространство, где норма \х\ = bornsup хп\. 1<71 <00 Его называем обобщенным т и обозначаем через гпе . Пусть имеем определенные в промежутке 0< 1 все­ возможные абстрактные функции х, со значениями из неко­ торого пространства Е почти всюду ограниченные, измери­ мые в смысле Лебега ( Е ). Эта совокупность функций обра­ зует линейное и нормированное пространство. Норма \xt \— = Vremax\x, . Его будем называть обобщенным простран­ ством М в смысле измеримости по Лебегу {Е) и обознача­ ем через М(Е). Аналогичным образом вводим понятие обоб­ 149